WordPressの標準機能ではSFTPに対応していません。
なので、FTP接続が許可されていないサーバーではWordPress本体やプラグインのアップデートを管理画面から行うことが出来ません。とはいえ、手動でアップデートするのは面倒・・・
こんな問題を解決してくれるプラグインがあります。「SSH SFTP Updater Support」です。

SSH SFTP Updater Supportをインストール

このプラグインに頼ろうとしているということは、管理画面からプラグインをインストール出来ない環境のはずなので、以下のページからダウンロードして、ファイルを解凍し、/wp-content/plugins/にアップロードします。

接続情報を設定

インストール済みプラグインの画面でSSH SFTP Updater Supportを有効化してから、WordPress本体またはプラグインの更新を試すと、接続情報画面が表示されます。

「接続形式」に新たに「SSH2」が追加されているので、これを選択します。

SFTPポートを変更している場合は、「127.0.0.1:10022」といったふうにIPアドレスの後ろにポート番号を指定すればOKです。

これでSFTP接続ができるようになり、WordPress管理画面からのアップデートが可能になります。